Используя теорему Виета, найдите корни квадратного уравнения:
\(\displaystyle x^2-5x-14=0{\small .}\)
\(\displaystyle x_1=\),
\(\displaystyle x_2=\).
Обратная теорема Виета
Если числа \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) такие, что
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ x_1}+\color{red}{ x_2}&=-b{ \small ,}\\[5px]\color{red}{ x_1}\cdot \color{red}{ x_2}&=c {\small ;}\end{aligned}\right. \)
то \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small .}\)
Выделим в данном уравнении коэффициенты:
\(\displaystyle x^2-5x+14= x^2 \color{green}{ -5}x\color{blue}{ -14} {\small .}\)
Тогда \(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ -5}{ \small ,}\) а \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -14}{\small ,}\) и в нашем случае обратная теорема Виета примет вид
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1+x_2&=5{ \small ,}\\[5px] x_1\cdot x_2&=-14 {\small .}\end{aligned}\right. \)
Разложим свободный член \(\displaystyle c\) на множители различными способами.
Из разложения \(\displaystyle \color{blue}{ -14}= 1\cdot (-14)\) можно предположить, что \(\displaystyle x_1=1\) и \(\displaystyle x_2=-14{\small .}\)
Проверим, верно ли равенство \(\displaystyle x_1+ x_2=5\) для \(\displaystyle x_1=1\) и \(\displaystyle x_2=-14{\small :}\)
\(\displaystyle 1-14\, \cancel{=}\, 5{\small .}\)
Значит, наше предположение неверно, так как числа \(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle -14\) не удовлетворяют обратной теореме Виета.
Из разложения \(\displaystyle \color{blue}{ -14}= (-1)\cdot 14\) можно предположить, что \(\displaystyle x_1=-1\) и \(\displaystyle x_2=14{\small .}\)
Проверим, верно ли равенство \(\displaystyle x_1+ x_2=5\) для \(\displaystyle x_1=-1\) и \(\displaystyle x_2=-14{\small :}\)
\(\displaystyle (-1)+14\, \cancel{=}\, 5{\small .}\)
Значит, наше предположение неверно, так как числа \(\displaystyle -1\) и \(\displaystyle 14\) не удовлетворяют обратной теореме Виета.
Из разложения \(\displaystyle \color{blue}{ -14}= 2\cdot (-7)\) можно предположить, что \(\displaystyle x_1=2\) и \(\displaystyle x_2=-7{\small .}\)
Проверим, верно ли равенство \(\displaystyle x_1+ x_2=5\) для \(\displaystyle x_1=2\) и \(\displaystyle x_2=-7{\small :}\)
\(\displaystyle 2-7\, \cancel{=}\, 5{\small .}\)
Значит, наше предположение неверно, так как числа \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle -7\) не удовлетворяют обратной теореме Виета.
Из разложения \(\displaystyle \color{blue}{ -14}= (-2)\cdot 7\) можно предположить, что \(\displaystyle x_1=-2\) и \(\displaystyle x_2=7{\small .}\)
Проверим, верно ли равенство \(\displaystyle x_1+ x_2=5\) для \(\displaystyle x_1=-2\) и \(\displaystyle x_2=7{\small :}\)
\(\displaystyle -2+7 =5{\small .}\)
Значит, наше предположение верно, так как числа \(\displaystyle -2\) и \(\displaystyle 7\) удовлетворяют обратной теореме Виета.
Таким образом, \(\displaystyle \color{red}{ -2}\) и \(\displaystyle \color{red}{ 7 }\) – корни квадратного уравнения
\(\displaystyle x^2-5x-14=0{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle -2\) и \(\displaystyle 7{\small .} \)