Две равные по силам волейбольные команды \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) играют между собой.
Найдите вероятность того, что команда \(\displaystyle A\) выиграет не менее двух партий из пяти.
Формула Бернулли
1. Проводятся \(\displaystyle n\) одинаковых независимых испытаний.
2. В каждом испытании два исхода:
событие \(\displaystyle A\) происходит с вероятностью \(\displaystyle 0<p<1\) или не происходит с вероятностью \(\displaystyle q=1-p{\small .}\)
Тогда вероятность того, что в этих \(\displaystyle n\) испытаниях событие \(\displaystyle A\) наступит ровно \(\displaystyle k\) раз, равна
\(\displaystyle P_{n}(k)=C_{n}^{k}\, p^{k}\cdot q^{n-k}\)
или
\(\displaystyle P_{n}(k)=\frac{n!}{k!(n-k)!} \, p^{k}\cdot q^{n-k}{\small .}\)
Найдём вероятность, что команда выиграет не менее двух партий из пяти.
Событие выиграть не менее двух партий из пяти состоит из трёх несовместных событий:
- выиграть две партии из пяти:
\(\displaystyle P_{5}(2)=\frac{5!}{2!(5-2)!} \, 0{,}5^{2}\cdot 0{,}5^{5-2}=10\cdot 0{,}5^{5} {\small ,}\)
- выиграть три партии из пяти:
\(\displaystyle P_{5}(3)=\frac{5!}{3!(5-3)!} \, 0{,}5^{3}\cdot 0{,}5^{5-3}=10\cdot 0{,}5^{5} {\small ,}\)
- выиграть четыре партии из пяти:
\(\displaystyle P_{5}(4)=\frac{5!}{4!(5-4)!} \, 0{,}5^{4}\cdot 0{,}5^{5-4}=5\cdot 0{,}5^{5}{\small ,}\)
- выиграть пять партии из пяти:
\(\displaystyle P_{5}(5)=\frac{5!}{5!(5-5)!} \, 0{,}5^{5}\cdot 0{,}5^{5-5}= 0{,}5^{5} {\small .}\)
Тогда вероятность выиграть не менее двух партий из пяти равна:
\(\displaystyle P_{5}(2)+P_{5}(3)+P_{5}(4)+P_{5}(5)=10\cdot 0{,}5^{5}+10\cdot 0{,}5^{5}+5\cdot 0{,}5^{5}+ 0{,}5^{5}=26 \cdot 0{,}5^{5}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 26 \cdot 0{,}5^{5}{\small .}\)