Рассмотрите дерево на рисунке:
Сколько существует цепей (простых путей), ведущих из вершины \(\displaystyle A\) в вершину \(\displaystyle F{\small?}\)
Количество цепей из \(\displaystyle A\) в \(\displaystyle F{\small:}\)
Заметим, что хотя бы одна цепь между любыми вершинами дерева существует, иначе оно бы не было связным.
И один простой путь (цепь) из вершины \(\displaystyle A\) в вершину \(\displaystyle F\) мы легко найдём на рисунке:
Это цепь \(\displaystyle A-C-E-F{\small.}\)
Покажем, что других цепей, соединяющих эти вершины, нет.
Если бы была еще одна цепь, то мы бы могли прийти из \(\displaystyle A\) в \(\displaystyle F\) по одной цепи, а вернуться по другой, получив тем самым цикл.
Но в дереве по определению не может быть циклов. Значит, не может быть и второй цепи, соединяющей вершины.
Таким образом, верна теорема
Теорема
Любые две вершины дерева соединены единственной цепью (простым путём).
Ответ: \(\displaystyle 1{\small.}\)